Jumat, 15 Maret 2013

kumpulan soal matematika SMK


1.PRESENTASE JUAL BELI
·         presentase rugi
1. Seorang pedagang buah membeli sekeranjang buah mangga dari seorang petani seharga Rp 400.000,00. Setelah dijual kepada konsumen ternyata pedagang buah hanya mendapatkan uang sebanyak Rp 340.000,00. Berapa persenkah kerugian pedagang buah itu?
Jawab:
harga beli = Rp 400.000,00
harga jual = Rp 340.000,00
rugi = harga beli – harga jual
=400.000 – 340.000
=60.000
sehingga
\displaystyle \textup{Persentase rugi}=\frac{\textup{rugi}}{\textup{harga beli}}\times 100\%
\displaystyle =\frac{60.000}{400.000}\times 100\%
\displaystyle =\frac{3}{20}\times 100\%
\displaystyle =15\%
Jadi kerugian pedagang buah itu sebesar 15%.
·         presentase untung
2. pak Budi membeli televisi seharga Rp 500.00,00. Televisi tersebut dijualnya seharga Rp 535.000,00. Berapa % keuntungan yang diperoleh pak Budi?
Jawab:
harga beli = Rp 500.000,00
harga jual = Rp 535.000,00
untung = harga jual – harga beli
=535.000 – 500.000
=35.000
dengan demikian
\displaystyle \textup{Persentase untung}=\frac{\textup{untung}}{\textup{harga beli}}\times 100\%
\displaystyle =\frac{35.000}{500.000}\times 100\%
\displaystyle =\frac{7}{100}\times 100\%
\displaystyle =7\%
Jadi keuntungan yang diperoleh pak Budi adalah 7%.

·         presentase laba
3. embelian 1 kodi kain Rp. 120.000,00. Kain ini habis terjual dengan harga Rp. 7.500,00 tiap helainya. Berapa persen labanya ?
Jawab:
harga beli = Rp 120.000,00
harga jual tiap lembar = Rp 7.500,00
harga jual seluruhnya = 7.500 × 20 = Rp 150.000,00
untung = laba = harga jual seluruhnya – harga beli
= 150.000 – 120.000
=30.000
dengan demikian
\displaystyle \textup{Persentase laba}=\frac{\textup{laba}}{\textup{harga beli}}\times 100\%
\displaystyle =\frac{30.000}{120.000}\times 100\%
\displaystyle =\frac{1}{4}\times 100\%
\displaystyle =25\%
Jadi persen labanya adalah 25%
2.perbandingan berbalik nilai

Seorang pemborong menyanggupi suatu proyek selesai oleh 30 orang Pegawai dalam waktu 24 hari. Setelah 10 hari pekerjaan dilaksanakan karena sesuatu hal, pekerjaan terhenti selama 4 hari. Supaya pekerjaan proyek tersebut selesai tepat waktu , berapakah tambahan pegawai yang diperlukan ?
Cara I
Penyelesaian:
Sisa waktu mengerjakan proyek 24 – 14 = 10 hari.
Misalkan banyaknya tambahan pegawai yang diperlukan yaitu p orang.
30 orang dalam 24 hari dapat menyelesaikan 1 pekerjaan, …………………………….. (1)
Berarti :
30 orang dalam 1 hari dapat menyelesaikan1/24 pekerjaan, maka
30 orang dalam 10 hari dapat menyelesaikan10/24 pekerjaan.
Jadi pekerjaan proyek yang tersisa1- 10/24= 14/24 pekerjaan.
Dengan demikian,
(30+p) orang dalam waktu 10 hari dapat menyelesaikan14/24 pekerjaan.
(30+p) orang dalam (10 x 24)/14 hari dapat menyelesaikan 1 pekerjaan……………(2)
Hasil kali nilai-nilai pada pernyataan (1) dan pernyataan (2) bernilai sama, sehingga
30 x 24 = (30+p) x (10 x 24)/14
30+p = 3 x 14
(30+p) = 42
P =12
Jadi tambahan pegawai yang diperlukan sebanyak 12 orang.

Cara II
Penyelesaiaan :
Dengan membuat table hasil kali data soal tersebut.
Misalkan banyaknya pegawai tambahan adalah p orang.
Banyaknya Pegawai(orang)
Waktu Pengerjaan(Hari)
Hasil Kali
30
24
720
30
10
300
(30+p)
10
420
Hasil kali pada baris terakhir sebagai berikut :
(30 + p) x 10 = 420
(30 + p) = 42
P = 12
Jadi banyaknya pegawai tambahan sebanyak 12 orang.
3.Bentuk akar
1. Rasionalkan penyebut pada bentuk \dfrac{2}{ \sqrt{5}- \sqrt{3}}
Jawab :
Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan sekawannya.

2. Rasionalkan penyebut pada bentuk \dfrac{2}{ \sqrt{3}}
Jawab :
\dfrac{2}{ \sqrt{3}} \times \dfrac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{3}}= \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}

3. Rasionalkan penyebut pada bentuk \dfrac{13}{4- \sqrt{3}}
Jawab :
\dfrac{13}{4- \sqrt{3}} \times \dfrac{4+ \sqrt{3}}{4+ \sqrt{3}}
= \dfrac{13(4+ \sqrt{3})}{4^2-3}
= \dfrac{13(4+ \sqrt{3})}{13}= 4+ \sqrt{3}

4. ( \sqrt{3}+ \sqrt{2})( \sqrt{3}- \sqrt{2})= \dots
Jawab :
Ingat bentuk (a+b)(a-b)=a^2-b^2
( \sqrt{3}+ \sqrt{2})( \sqrt{3}- \sqrt{2})=3-2=1

4.bilangan berpangkat

·         bentuk pangkat positif
a. 3-5
b. (-8)
4
·         bentuk pangkat negatif
a. 1/72
b. 1/26

JAWAB

1. a. 3-5 = 1/35

b. (-8)-4 = 1/(-8)4
2. a. 1/72 = 7-2
b. 1/26 = 2-6

5.logaritma

5 -3 per √5 +3 = ...
Jawab :

(√5 - 3)/(√5 + 3)
= (√5 - 3)/(√5 + 3) x (√5 - 3)/(√5 - 3) <-- kali akar sekawan
= (√5 - 3)²/(5 - 9)
= -1/4 (5 - 6√5 + 9)
= -1/4 (14 - 6√5)
= -7/2 + 3/2√5
= (3√5 - 7)/2

log (3a - √2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!
Jawab :
[log (3a - √2)]/log(0.5) = -0.5
log (3a - √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)
3a - √2 = 1/√½
a = (2/3) √2

6.persamaan dan pertidaksamaan linear

·         persamaan linear satu variabel
Tentukan persamaan dari \!2\lambda+\!5=\!5\lambda-\!10.
                                  2λ + 5 = 5λ - 10
                              2λ + 5 - 5 = 5λ - 10 - 5
                                      2λ = 5λ - 15
                                      15 = 5λ - 2λ
                                      15 = 3λ
                                  3λ.1/3 = 15.1/3
                                      λ  = 5
·         pertidaksamaan linear
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dari
\!5x+2>\!8.
5x + 2 > 8
5x>8-2
5x>6
x>1,5



7.persamaan garis yang melalui sebuah titik
Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

Penyelesaian :
Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2
Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :
y - y1 = m ( x - x1 )
y - 4 = -2 {x - (-3)}
y - 4 = -2 (x + 3 )
y - 4 = -2 x - 6
y = -2x - 6 + 4
y = -2x - 2
Jadi persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2 adalah y = -2x - 2
8.fungsi kuadrat jika di ketahui grafik dan titik puncaknya

Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)
Jawaban :
melalui (-1,0) => y = a(-1)2 + b(-1) + c
0 = a - b + c ... (1)
melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c
-9 = 4a + 2b + c ... (2)
melalui (4,-5) => y = a(4)2 + b(4) + c
-5 = 16a + 4b + c ... (3)
Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)
Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)
Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'
Dari (5) - (4)' => 10b = -40
b = -4
Substitusikan b = -4 ke (4)
maka => -3a + 12 = 9
-3a = -3
a = 1
Substitusikan a = 1 dan b = -4
maka => 1 - (-4) + c = 0
5 + c = 0
c = -5
Sehingga fungsi kuadratnya => y = x2 - 4x – 5

9.model matematika
Soal :
Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu yaitu sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata-rata harga beli sepasang sepatu untuk anak-anak Rp.50.000,00 dan dewasa Rp.100.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu. Modal yang tersedia Rp.5.000.000,00. Keuntungan yang diperoleh tiap penjualan adalah Rp.10.000,00 dan Rp.15.000,00 masing” untuk sepatu anak-anak dan sepatu dewasa. Buatlah model matematika untuk memaksimumkan keuntungan dari penjualan terebut !



Jawab:
Sepatu dewasa= x
Sepatu anak-anak= y




jenis sepatu
Banyaknya
harga
keuntungan
sepatu dewasa
X
Rp.100.000
Rp.15.000
sepatu anak-anak
Y
Rp.50.000
Rp.10.000

80
Rp.5.000.000


Banyak sepatu = x+y80
Harga = 100.000x+50.000y5.000.000
2x+y100
x+y80; 2x+y≤100x≥0;y≥0 x,y ⋲R

2x+y≤100
x
0
50
y
100
0
(x,y)
(0 , 100)
( 50 , 0 )

x+y80
x
0
80
y
80
0
(x,y)
(0 , 80)
( 80 , 0 )
titik pojok (0,0)
x+y80
0+080
080 (benar)
f (x,y)= 15000x+10000y







10.penjumlahan dan pengurangan matrik ordo dua
·         penjumlahan matrik
Soal :

·         pengurangan matrik

Soal :
11.perkalian matrik
                                                     A=
Tentukan:
a.A2
b.A3
Jawab
a. A2= A x A
b. A3= A x A x A

12.invers matrik
Soal :
Diketahui A = , Tentukan determinan dan invers matriks A.
Det A = ad – bc
= 2.3 – 5.1
= 6 – 5
=  1
A-1     =
    
A-1     = =

13.jumlah dan selisih vector
Soal :
Dua buah vektor kecepatan P dan Q masing-masing besarnya 40 m/s dan 20 m/s membentuk sudut 60°.


Tentukan selisih kedua vektor tersebut!











JAwab :

Menentukan selisih dua buah vektor yang diketahui sudutnya:




14.perkalian dengan skala
Soal :
Bayangan garis y = x - 3 karena dilatasi faktor skala 4
dengan pusat A(1,2) adalah .....
Jawab :

atau dapat ditulis menjadi

sehingga bayangannya adalah :

atau ditulis y = x + 15 atau x - y + 15 = 0


15.menentukan besar sudut antar dua vector
Soal :
Hitunglah sudut antar  dan  , jika =2i+3j+5k dan  =4i-6j+2k
         Jawab:

=2i+3j+5k dan =4i-6j+2k
= dan =
.=2.4+3.(-6)+2.5
=8-18+10
=0
||=
=
=
||=
=
=


=
=
=
=0

Arc cos 0 = 90°
                                        Jadi sudut yang dibentuk  dan  adalah 90°.


16.ingkaran suatu pernyataan
 Soal :

1.Ingkaran (negasi) dari pernyataan “ Semua orang makan nasi” ialah:

Jawab :

Negasi kalimat berkuantor :
(semua p)
ada/beberapa (~p)
(ada/beberapa p)
semua (~p)
- semua negasinya adalah ada/beberapa ;
- p = makan nasi
~p = tidak makan nasi
jadi negasinya : Ada/beberapa orang tidak makan nasi.

Soal :

2.Ingkaran/Negasi dari pernyataan ; Jika ia orang Belanda maka ia orang Eropa” adalah…..

Jawab :

negasi dai implikasi  (pq) adalah  p ~ q
maka jawabnya adalah  Ia seorang Belanda dan ia bukan orang Eropa
terkadang kata dan bisa diganti tetapi
 Ia seorang Belanda tetapi  ia bukan orang Eropa

          Soal :
3.Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...
        Jawab :
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p
q ) ~p ~q
~(p
q) ~p ~ q

p : Matematika tidak mengasyikkan
q : Matematika  membosankan
Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi

~(p
q) ~p ~ q

sehingga

~p
~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

17.kontraposisi suatu pernyataan
                 Soal :
Tentukanlah kontraposisi dari pernyataan berikut :
1.Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
2. Jika x > 6 maka x² 36
Jawab :
Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x 6.
kontraposisi p q ~q ~p “jika x 6 maka x² < 36”.

18.modus tolen
Soal :

19.silogisme
A. Jika Budi rajin belajar, maka ia naik kelas (B)
Jika ia naik kelas, maka akan dibelikan sepeda (B)
Jika Budi rajin belajar, maka akan dibelikan sepeda (B)

B.  Jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjl (B)
Jika n2 bilangan ganjil, maka n2 + 1 bilangan genap (B)
Jika n bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap (B)

20.menentukan keliling bidang datar
Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x
Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x
Perpotongan kedua kurva:
x2 = –x2 + 4x
x2 + x2 – 4x = 0
2x2 – 4x = 0
2x(x – 2) = 0
2x = 0 atau x = 2
x = 0 atau x = 2
x = 0 → y = 02 = 0
x = 2 → y = 22 = 4
Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)
Metode cakram:
\

21.menetukan luas bidang datar

·        Luas bangun datar dibawah ini adalah….

Jawab: gambar di atas adalah gambar jajargenjang
luasnya=alas.tinggi
=23dm.12dm
=276dm³



                        22.menentukan luas permukaan
·         luas permukaan kerucut
Diketahui sebuah kerucut memiliki ukuran jari jari = 14 dan sisi miring (s)= 25, berapakah luas permukaannya?
jawab : phi × r (s + r)
22/7 × 14 (25 + 14)
22 × 2 (39)
44 × 39 = 1716




23.menentukan volume limas
·         volume limas persegi panjang
Soal :
Hitunglah volume sebuah limas yang memiliki alas berbentuk persegi yang panjangnya 10 cm, dan tingginya 12 cm
Jawab :
Volume limas = ⅓ × L.alas × tinggi
= ⅓ × 10 × 10 × 12
= 4 × 100
= 400
Jadi, volume limas adalah 400 cm3
·         volume limas segitiga
Soal :
Luas suatu alas limas segitiga adalah 21 cm2 dan tingginya 8 cm.
Berapakah volume dan luas limas segitiga tsb ?
Jawab:
Diketahui luas alas = 21 cm2 dan t = 8 cm
V = ⅓ × L.alas × tinggi
= ⅓ × 21 cm2 × 8 cm
= 56 cm3





24.menentukan aturan sines

1.    bentuk jumlah atau selisih

Sin 40  ° cos 30 °

Jawab :
Sin 40  ° cos 30 °  = ½ [ sin ( 40 ° + 30 ° ) + sin ( 40 ° - 30 °) ]
= ½ ( sin 70 ° + sin 10 ° )

= ½ (cos 850 +  cos 150)


2.      bentuk hasil kali

Sin 500 + sin 400

Jawab :
Sin 500 + sin 400 = 2 sin ½ (500 + 400 ) cos ½ (500 – 400 )
= 2 sin 450 cos 50












25.menentukan kornet kutub kartesius
Soal :
  • Koordinat titik E adalah (2,2)
  • Koordinat titik F adalah (-2,1), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak dua satuan lalu tegak keatas sebanyak satu satuan.
  • Koordinat titik G adalah (-3,-3), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak tiga satuan lalu tegak ke bawah sebanyak tiga satuan.






26.menentukan suku ke N atau UN dari barisan aritmatika
·         soal:
Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?
·         jawab :
Dik :
deret : 1. 3, 5, 7, ...
a = 1
b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2
Un = a + (n-1) b
= 1 + (25-1)2
= 1 +   (24).2
= 1 + 48
= 49
Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49
27.menentukan suku ke N barisan aritmatika dan geometri
soal :
Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke n dirumuskan sbagai :
a) Un = 3n + 1
b) Un = 2n² – 1
jawab :

Suku ke n, un = 3n + 1
a)
Untuk n = 1 diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
Untuk n =2 diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Untuk n =3 diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10

Jadi , tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10
Suku ke n, un = 2n2 – 1

b)
Untuk n = 1 diperoleh u1 = 2(1)² – 1 = 1
Untuk n =3 diperoleh u3 = 2(1)² – 1 = 7
Untuk n =2 diperoleh u2 = 2(3)² – 1 = 17

Jadi tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 1, u2 = 7, u3 = 17
28.menentukan Xn suku pertama barisan aritmatika
Soal :

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika berikut! 1,7,13,19,....

Jawab :
1,7,13,19,...
a = 1, b = 6, n = 10

Sn = 1/2 n (a + Un)
.....= 1/2 n (a + a + (n-1)b)
.....= 1/2 n (2a + (n-1)b)
S10 = 1/2. 10 (2.1 + 9.6)
.......= 5 x (2 + 54)
.......= 5 x 56
S10 = 280

Jadi jumlah 10 suku pertama adalah 280
29.menentukan jumlah suku pertama barisan geometri
Soal :
Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke n dirumuskan sbagai :
a) Un = 3n + 1
b) Un = 2n² – 1
Jawab:
Suku ke n, un = 3n + 1
a) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
Untuk n =2 diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Untuk n =3 diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10

Jadi , tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10
Suku ke n, un = 2n2 – 1
b) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 2(1)² – 1 = 1
Untuk n =3 diperoleh u3 = 2(1)² – 1 = 7
Untuk n =2 diperoleh u2 = 2(3)² – 1 = 17

Jadi tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 1, u2 = 7, u3 = 17
30.menentukan salah satu unsur dari barisan geometri tak hingga
          Soal :
Suatu deret aritmatika diketahui 5 deret suku pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku yang ke-15 sama dengan …
Jawab :
= 35  (2a + 4b)    x 4 | 140 = 20a + 40b
    = 24 2(2a + 3b)   4a + 6b       |   x 5 |120 = 20a + 30b
20 = 10 b
b = 2, a = 3
= a + 14b
= 3 + 28 = 31
31.menentukan permutasi dan dari tujuh akar
Soal :
Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?

Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720

32.menentukan peluag
Soal :
Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah bukulaporan semesteran dan 3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut menyusun buku ?
Jawab :
Diket : Menyusun 6 buah buku lap. semester dan 3 buah buku lap. tahunan dan
letaknya harus berjajar.
Ditanya :
Banyak cara menyusun buku ?
Jawab :
2 ( 6! 3! )
= 2 ( 720 x 6 )
= 2 (4320)
= 8640 Cara





33.diagram lingkaran
Perhatikan diagram berikut!
Diagram di atas menunjukkan hobi siswi MI Al Amin. Jumlah siswi yang hobi berkebun dan memasak 78 anak. Banyak siswi yang hobi menyulam adalah ....


Penyelesaian:
Persentase Berkebun = 25% (ada tanda siku-siku yang berarti seperempat bagian)
Persentase Memasak = 40%
Persentase Menjahit = 20%
Persentase Menyulam = 100% - (25% + 40% + 20%) = 15%

Diketahui jumlah siswa yang hobi berkebun dan memasak = 78 anak.


Jadi, banyak siswi yang hobi menyulam ada 18 anak.





34.nilai rata-rata data kelompok

Soal :

Berat Badan
Frekuensi
15-24
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
8
14
24
32
16
6

 Jawab:

Jika kita ambil nilai tengah kelas pertama sebagai rata-rata sementara.
Rata-rata =
= 19,5 + ((14(10) + 24(20) + 32(30) + 16(40) + 6(50))/(8+14+24+32+16+6)
= 19,5 + ((140+480+960+640+300)/(100)
= 19,5 + (2520/100)
= 19,5 + 25,2
= 44,7

Jika kita ambil rata-rata sementara adalah 49,5 maka cara kerjanya sebagai berikut.
Rata-rata =
=  49,5 + ((8(-30) + 14 (-20) + 24(-10) + 16(10) + 6(20))/100
=  49,5 + (-240 - 280 - 240 + 160 + 120)/100
=  49,5 + (-480/100)
=  49,5 + (-4,8)
=  44,7




35.modus data kelompok
Nilai
Frekuensi
41 – 50
8
51 – 60
5
61 – 70
14
71 – 80
8
81 – 90
3
91 – 100
2
Jumlah
40
Tentukan median dan modus dari data di atas!
Jawab:
a. Median
Banyak data tersebut adalah 40, sehingga median terletak pada data ke -20 yang berada pada kelas interval ke-3. Sehingga kita mengetahui:



sehingga median dari data di atas adalah:
b. Modus
Modus pada data diatas terletak pada kelas interval ke-3 karena mempunyai frekuensi paling besar yaitu 14. Sehingga kita mengetahui:



Sehingga modus dari data di atas adalah:

36.simpangan baku data tunggal
Soal :
Tentukan simpangan baku dari 4,5,6,3,2

Jawab :
Dari data di atas kita tahu bahwa 4,5,6,3,2 adalah data tunggal.

Simpangan baku untuk data tunggal
seperti yang tampak diatas adalah:

Dik :
n (jumlah data) = 5
Dit :
Simpangan baku (S)?


Jwb:
Pertama cari Xrata2 dulu ---> Xrata2 = 1/n (4 + 5 + 6 + 3 + 2) = 1/5 (20) = 4

Lalu, tinggal cari simpangan baku dengan rumus:
S" = 1/n Sigma (Xi - Xrata2)
S" = 1/5 [(4 - 4)" + (5 - 4)" + (6 - 4)" + (3 - 4)" + (2 - 4)"]
S" = 1/5 [(0)" + (1)" + (2)" + (-1)" + (-2)"]
S" = 1/5 (0 + 1 + 4 + 1 + 4)
S" = 1/5 (10)
S" = 2
S = akar 2 = 2^1/2

Catatan:
tanda " (kutip) = kuadrat
tanda ^ = Pangkat


37.limit aljabar
Soal:
\lim_{x\to\0}\frac{sin3x - sin3x.cos2x}{4x^{3}} = ....
Jawab :
\lim_{x\to\0}\frac{sin3x - sin3x.cos2x}{4x^{3}} = ....


\frac{sin3x - sin3x.cos2x}{4x^{3}}
\frac {sin3x.(1 - cos2x)}{4x^{3}}
\frac {sin3x.(1 - (1 - 2sin^{2})}{4x^{3}}
\frac {sin3x.2sin^{2}x}{4x^{3}}

=1/4 . sin3x/x . 2. sinx/x . sinx/x
=1/4 . 3 . 2 . 1 . 1
=3/2

38. turunan fungsi
Soal :

Turunan pertama fungsi f(x) = (6x – 3)3 (2x – 1) adalah f(x). Nilai dari f(1) = …

Jawab :

misal : u(x) = (6x – 3)3 \Rightarrowu’(x) = 3(6x – 3)2(6)
v(x) = (2x – 1) \Rightarrowv’(x) = 2
f’(x) = u’v + uv’
= (3(6x – 3)2(6))(2x – 1) + (6x – 3)3(2)
= 18(6x – 3)2(2x – 1) + (6x – 3)3(2)
f’(1) = 18(6(1) – 3)2(2(1) – 1) + (6(1) – 3)3(2)
= 18(3)2(1) + (3)3(2)
= 18(9) + (27)(2)
= 162 + 54
= 216

39.nilai optimum menggunakan konsep turunan fungsi
Soal :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari y(x) = x2 + 6x + 5 pada interval
 [ -4,0].
Jawab :
® Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x + 6
® Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan :
y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½)
x + 3 = 0
x = -3
® sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) = -4, -3, 0.
y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3
y(-3) = (-3)2 + 6 (-3) + 5 = -4
y(0) = 02 + 6 (0) + 5 = 5
Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

40.integral tak tentu
Soal :
Lihat Jawaban
int{}{}{{18x^2}/sqrt{2x^3+8}}dx=
Jawab :

misalkan {2x^3+8=u}doubleright{du=6x^2dx}
sedemikian sehingga18x^2dx=3du,
 jika disubtitusi ke bentuk integral yang diketahui,
maka menjadi int{}{}{3/sqrt{u}}du
supaya mudah diintegralkan ubah bentuknya menjadi int{}{}{3u^{-1/2}}dudan hasilnya adalah 6u^{1/2}+C
jadi jika {2x^3+8=u}disubstitusikan ke hasil, maka :
int{}{}{{18x^2}/sqrt{2x^3+8}}dx=6(2x^3+8)^{1/2}+C






41.luas daerah
Soal :
Luas daaerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas
Jawab :

Photobucket
Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x. Kemudian
persamaan kurva (y1) = persamaan garis (y2)
x2 = 6 – x
x2 + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x = -3 atau x = 2
Luas = \int_{-3}^2(y1 – y2) dx
= \int_{-3}^2x2 + x – 6 dx
= \frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 6x \mid_{-3}^2
= (\frac{1}{3}(2)3 + \frac{1}{2}(2)2 – 6(2)) – (\frac{1}{3}(-3)3 + \frac{1}{2}(-3)2 – 6(-3))
= (\frac{8}{3} + 2 – 12) – (-9 + \frac{9}{2}+ 18)
= -19 – \frac{11}{6}
= -20\frac{5}{6}
Luas suatu kurva tidak mungkin bernilai negatif, jadi hasil akhirnya
= 20\frac{5}{6}satuan luas

42.volume benda putar
Soal :
Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = − x2 + 4 dan y = − 2x + 4 diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah.....
           Jawab :


Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar nampak batas-batas yang akan diambil,
Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat,
y = −x2 + 4

Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x2 + 4
0 = −x2 + 4
0 = 4 −x2
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2

Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)

Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x2 + 4
y = −02 + 4
y = 4

Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)


Kurva Kedua berbentuk persamaan linier
y = − 2x + 4

Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)

Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)

Grafik selengkapnya sebagai berikut




43.persamaan lingkaran
Soal :
Tulislah persamaan lingkaran dalam bentuk x² + y² + 2Ax + 2 By + C = 0
Jika diketahui p = ( 2,2 ) dan r = 3
jawab :
P ( 2,2 ) r = 3
( x – 2 )² + ( y – 2 )² = 3²
x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 – 9 = 0
x² + y² - 4x – 4y – 1= 0

Tidak ada komentar:

Posting Komentar