1.PRESENTASE JUAL BELI
·
presentase rugi
1. Seorang pedagang buah membeli sekeranjang buah mangga
dari seorang petani seharga Rp 400.000,00. Setelah dijual kepada konsumen
ternyata pedagang buah hanya mendapatkan uang sebanyak Rp 340.000,00. Berapa
persenkah kerugian pedagang buah itu?
Jawab:
harga beli = Rp 400.000,00
harga jual = Rp 340.000,00
rugi = harga beli – harga jual
=400.000 – 340.000
=60.000
sehingga
Jadi kerugian pedagang buah itu sebesar 15%.
Jawab:
harga beli = Rp 400.000,00
harga jual = Rp 340.000,00
rugi = harga beli – harga jual
=400.000 – 340.000
=60.000
sehingga
Jadi kerugian pedagang buah itu sebesar 15%.
·
presentase untung
2. pak Budi membeli
televisi seharga Rp 500.00,00. Televisi tersebut dijualnya seharga Rp
535.000,00. Berapa % keuntungan yang diperoleh pak Budi?
Jawab:
harga beli = Rp 500.000,00
harga jual = Rp 535.000,00
untung = harga jual – harga beli
=535.000 – 500.000
=35.000
dengan demikian
Jadi keuntungan yang diperoleh pak Budi adalah 7%.
Jawab:
harga beli = Rp 500.000,00
harga jual = Rp 535.000,00
untung = harga jual – harga beli
=535.000 – 500.000
=35.000
dengan demikian
Jadi keuntungan yang diperoleh pak Budi adalah 7%.
·
presentase laba
3. embelian 1 kodi
kain Rp. 120.000,00. Kain ini habis terjual dengan harga Rp. 7.500,00 tiap
helainya. Berapa persen labanya ?
Jawab:
harga beli = Rp 120.000,00
harga jual tiap lembar = Rp 7.500,00
harga jual seluruhnya = 7.500 × 20 = Rp 150.000,00
untung = laba = harga jual seluruhnya – harga beli
= 150.000 – 120.000
=30.000
dengan demikian
Jadi persen labanya adalah 25%
Jawab:
harga beli = Rp 120.000,00
harga jual tiap lembar = Rp 7.500,00
harga jual seluruhnya = 7.500 × 20 = Rp 150.000,00
untung = laba = harga jual seluruhnya – harga beli
= 150.000 – 120.000
=30.000
dengan demikian
Jadi persen labanya adalah 25%
2.perbandingan berbalik
nilai
Seorang pemborong
menyanggupi suatu proyek selesai oleh 30 orang Pegawai dalam waktu 24 hari. Setelah
10 hari pekerjaan dilaksanakan karena sesuatu hal, pekerjaan terhenti selama 4
hari. Supaya pekerjaan proyek tersebut selesai tepat waktu , berapakah tambahan
pegawai yang diperlukan ?
Penyelesaian:
Sisa waktu mengerjakan proyek 24 – 14
= 10 hari.
Misalkan banyaknya tambahan pegawai
yang diperlukan yaitu p orang.
30 orang dalam 24 hari dapat
menyelesaikan 1 pekerjaan, …………………………….. (1)
Berarti :
30 orang dalam 1 hari dapat menyelesaikan1/24
pekerjaan, maka
30 orang dalam 10 hari dapat
menyelesaikan10/24 pekerjaan.
Jadi pekerjaan proyek yang tersisa1-
10/24= 14/24 pekerjaan.
Dengan demikian,
(30+p) orang dalam waktu 10 hari
dapat menyelesaikan14/24 pekerjaan.
(30+p) orang dalam (10 x 24)/14 hari
dapat menyelesaikan 1 pekerjaan……………(2)
Hasil kali nilai-nilai pada
pernyataan (1) dan pernyataan (2) bernilai sama, sehingga
30 x 24 = (30+p) x (10 x 24)/14
30+p = 3 x 14
(30+p) = 42
P =12
Jadi tambahan pegawai yang diperlukan
sebanyak 12 orang.
Cara II
Penyelesaiaan :
Dengan membuat table hasil
kali data soal tersebut.
Misalkan banyaknya pegawai
tambahan adalah p orang.
Banyaknya Pegawai(orang)
|
Waktu Pengerjaan(Hari)
|
Hasil Kali
|
30
|
24
|
720
|
30
|
10
|
300
|
(30+p)
|
10
|
420
|
Hasil kali pada baris terakhir
sebagai berikut :
(30 + p) x 10 = 420
(30 + p) = 42
P = 12
Jadi banyaknya pegawai
tambahan sebanyak 12 orang.
3.Bentuk akar
1. Rasionalkan penyebut pada bentuk
Jawab :
Untuk merasionalkan penyebut, kita
kalikan dengan sekawannya.
2. Rasionalkan
penyebut pada bentuk
Jawab :
3. Rasionalkan penyebut pada bentuk
Jawab :
4.
Jawab :
Ingat bentuk
4.bilangan berpangkat
·
bentuk pangkat
positif
a. 3-5
b. (-8) 4
b. (-8) 4
·
bentuk pangkat
negatif
a. 1/72
b. 1/26
JAWAB
1. a. 3-5 = 1/35
b. (-8)-4 = 1/(-8)4
2. a. 1/72 = 7-2
b. 1/26 = 2-6
a. 1/72
b. 1/26
JAWAB
1. a. 3-5 = 1/35
b. (-8)-4 = 1/(-8)4
2. a. 1/72 = 7-2
b. 1/26 = 2-6
5.logaritma
√5
-3 per √5 +3 = ...
Jawab
:
(√5 - 3)/(√5 + 3)
= (√5 - 3)/(√5 + 3) x (√5 - 3)/(√5 - 3) <-- kali akar sekawan
= (√5 - 3)²/(5 - 9)
= -1/4 (5 - 6√5 + 9)
= -1/4 (14 - 6√5)
= -7/2 + 3/2√5
= (3√5 - 7)/2
(√5 - 3)/(√5 + 3)
= (√5 - 3)/(√5 + 3) x (√5 - 3)/(√5 - 3) <-- kali akar sekawan
= (√5 - 3)²/(5 - 9)
= -1/4 (5 - 6√5 + 9)
= -1/4 (14 - 6√5)
= -7/2 + 3/2√5
= (3√5 - 7)/2
log
(3a - √2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!
Jawab :
[log (3a - √2)]/log(0.5) = -0.5
log (3a - √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)
3a - √2 = 1/√½
a = (2/3) √2
[log (3a - √2)]/log(0.5) = -0.5
log (3a - √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)
3a - √2 = 1/√½
a = (2/3) √2
6.persamaan dan pertidaksamaan linear
·
persamaan linear
satu variabel
Tentukan persamaan
dari .
2λ + 5 = 5λ - 10
2λ + 5 - 5 = 5λ - 10 - 5
2λ = 5λ - 15
15 = 5λ - 2λ
15 = 3λ
3λ.1/3 = 15.1/3
λ = 5
· pertidaksamaan linear
Tentukan
penyelesaian dari pertidaksamaan dari
.
5x + 2 > 8
5x>8-2
5x>6
x>1,5
7.persamaan
garis yang melalui sebuah titik
Tentukanlah
persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.
Penyelesaian :
Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 , y1
= 4 dan bergradien -2, berarti m = -2
Persamaan garis dengan gradient m dan
melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :
y - y1 = m ( x - x1 )
y - 4 = -2 {x - (-3)}
y - 4 = -2 (x + 3 )
y - 4 = -2 x - 6
y = -2x - 6 + 4
y = -2x - 2
Jadi persamaan garis melalui titik A(-3,4)
dan bergradien -2 adalah y
= -2x - 2
8.fungsi kuadrat jika di ketahui grafik dan titik
puncaknya
Tentukan fungsi kuadrat
grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)
Jawaban :
melalui (-1,0) => y = a(-1)2
+ b(-1) + c
0 = a - b + c ... (1)
melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c
-9 = 4a + 2b + c ... (2)
melalui (4,-5) => y = a(4)2
+ b(4) + c
-5 = 16a + 4b + c ... (3)
Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)
Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)
Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'
Dari (5) - (4)' => 10b = -40
b = -4
Substitusikan b = -4 ke (4)
maka => -3a + 12 = 9
-3a = -3
a = 1
Substitusikan a = 1 dan b = -4
maka => 1 - (-4) + c = 0
5 + c = 0
c = -5
Sehingga fungsi kuadratnya =>
y = x2 - 4x – 5
9.model
matematika
Soal :
Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu
yaitu sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata-rata harga beli sepasang sepatu
untuk anak-anak Rp.50.000,00 dan dewasa Rp.100.000,00. Etalase yang tersedia
hanya dapat menampung 80 pasang sepatu. Modal yang tersedia Rp.5.000.000,00.
Keuntungan yang diperoleh tiap penjualan adalah Rp.10.000,00 dan Rp.15.000,00
masing” untuk sepatu anak-anak dan sepatu dewasa. Buatlah model matematika
untuk memaksimumkan keuntungan dari penjualan terebut !
Jawab:
Sepatu dewasa= x
Sepatu anak-anak= y
jenis sepatu
|
Banyaknya
|
harga
|
keuntungan
|
sepatu
dewasa
|
X
|
Rp.100.000
|
Rp.15.000
|
sepatu
anak-anak
|
Y
|
Rp.50.000
|
Rp.10.000
|
|
80
|
Rp.5.000.000
|
|
Banyak sepatu = x+y≤80
Harga = 100.000x+50.000y≤5.000.000
2x+y≤100
x+y≤80;
2x+y≤100x≥0;y≥0 x,y ⋲R
2x+y≤100
x
|
0
|
50
|
y
|
100
|
0
|
(x,y)
|
(0 , 100)
|
( 50 , 0 )
|
x+y≤80
x
|
0
|
80
|
y
|
80
|
0
|
(x,y)
|
(0 , 80)
|
( 80 , 0 )
|
titik pojok (0,0)
x+y≤80
0+0≤80
0≤80
(benar)
f (x,y)= 15000x+10000y
10.penjumlahan dan
pengurangan matrik ordo dua
·
penjumlahan matrik
Soal :
·
pengurangan matrik
Soal
:
11.perkalian matrik
A=
Tentukan:
a.A2
b.A3
b.A3
Jawab
a. A2=
A x A
b. A3=
A x A x A
12.invers
matrik
Soal :
Diketahui A =
, Tentukan determinan dan invers matriks A.
Det A = ad –
bc
= 2.3 – 5.1
= 6 – 5
= 1
A-1 =
A-1 = =
13.jumlah dan selisih vector
Soal :
Dua buah vektor
kecepatan P dan Q masing-masing besarnya 40 m/s dan 20 m/s membentuk sudut 60°.
Tentukan selisih kedua vektor tersebut!
Tentukan selisih kedua vektor tersebut!
JAwab :
Menentukan selisih
dua buah vektor yang diketahui sudutnya:
14.perkalian dengan skala
Soal :
Bayangan garis y =
x - 3 karena dilatasi faktor skala 4
dengan pusat A(1,2) adalah .....
dengan pusat A(1,2) adalah .....
Jawab :
atau dapat ditulis menjadi
sehingga bayangannya adalah :
atau ditulis y = x + 15 atau x - y + 15 = 0
15.menentukan besar sudut antar dua vector
Soal :
Hitunglah sudut antar dan , jika
=2i+3j+5k dan
=4i-6j+2k
Jawab:
=2i+3j+5k dan =4i-6j+2k
= dan =
.=2.4+3.(-6)+2.5
=8-18+10
=0
||=
=
=
||=
=
=
=
=
=
=0
Arc cos 0 = 90°
Jadi
sudut yang dibentuk dan adalah
90°.
16.ingkaran
suatu pernyataan
Soal :
1.Ingkaran
(negasi) dari pernyataan “ Semua orang
makan nasi” ialah:
Jawab :
Negasi kalimat
berkuantor :
(semua p) ⇒ ada/beberapa (~p)
(ada/beberapa p) ⇒ semua (~p)
- semua negasinya adalah ada/beberapa ;
- p = makan nasi ⇒ ~p = tidak makan nasi
jadi negasinya : Ada/beberapa orang tidak makan nasi.
(semua p) ⇒ ada/beberapa (~p)
(ada/beberapa p) ⇒ semua (~p)
- semua negasinya adalah ada/beberapa ;
- p = makan nasi ⇒ ~p = tidak makan nasi
jadi negasinya : Ada/beberapa orang tidak makan nasi.
Soal :
2.Ingkaran/Negasi dari pernyataan ; Jika ia orang Belanda maka ia orang
Eropa” adalah…..
Jawab :
negasi dai implikasi (p⇒q)
adalah p ∧ ~ q
maka jawabnya adalah Ia seorang Belanda dan ia bukan orang Eropa
terkadang kata dan bisa diganti tetapi
Ia seorang Belanda tetapi ia bukan orang Eropa
maka jawabnya adalah Ia seorang Belanda dan ia bukan orang Eropa
terkadang kata dan bisa diganti tetapi
Ia seorang Belanda tetapi ia bukan orang Eropa
Soal :
3.Negasi dari
pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan"
adalah...
Jawab :
Untuk menentukan negasi dari
suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
q : Matematika
membosankan
Negasi untuk p dan q
masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
Gunakan dalil de Morgan untuk
negasi disjungsi
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
17.kontraposisi suatu pernyataan
Soal :
Tentukanlah
kontraposisi dari pernyataan berikut :
1.Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras
naik.
2. Jika x > 6 maka x
²
≥
36
Jawab :
Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.
Soal (2)
Tulis
p: jika x
q: x > 6.
Jadi ~p: x
~q: x
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.
Soal (2)
Tulis
p: jika x
²
&re;
36q: x > 6.
Jadi ~p: x
²
< 36~q: x
≤
6.
kontraposisi p
⇒
q ≡
~q ⇒
~p ≡
“jika x ≤
6 maka x²
< 36”.
18.modus tolen
Soal :
19.silogisme
A. Jika Budi rajin belajar, maka ia naik
kelas (B)
Jika ia naik kelas, maka akan dibelikan sepeda (B)
Jika Budi rajin belajar, maka akan dibelikan sepeda (B)
Jika ia naik kelas, maka akan dibelikan sepeda (B)
Jika Budi rajin belajar, maka akan dibelikan sepeda (B)
B. Jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjl
(B)
Jika n2 bilangan ganjil, maka n2 + 1 bilangan genap (B)
Jika n bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap (B)
Jika n2 bilangan ganjil, maka n2 + 1 bilangan genap (B)
Jika n bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap (B)
20.menentukan keliling bidang datar
Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah
yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar
terhadap sumbu x
Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2
+ 4x
Perpotongan kedua kurva:
x2 = –x2 + 4x
x2 + x2 – 4x = 0
2x2 – 4x = 0
2x(x – 2) = 0
2x = 0 atau x = 2
x = 0 atau x = 2
x = 0 → y = 02 = 0
x = 2 → y = 22 = 4
Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)
Metode cakram:
\
21.menetukan luas bidang datar
·
Luas bangun datar dibawah ini adalah….
Jawab: gambar di atas adalah gambar jajargenjang
luasnya=alas.tinggi
=23dm.12dm
=276dm³
22.menentukan luas permukaan
·
luas permukaan
kerucut
Diketahui sebuah kerucut memiliki ukuran jari jari = 14 dan
sisi miring (s)= 25, berapakah luas permukaannya?
jawab : phi × r (s + r)
22/7 × 14 (25 + 14)
22 × 2 (39)
44 × 39 = 1716
jawab : phi × r (s + r)
22/7 × 14 (25 + 14)
22 × 2 (39)
44 × 39 = 1716
23.menentukan volume limas
·
volume limas
persegi panjang
Soal :
Hitunglah volume
sebuah limas yang memiliki alas berbentuk persegi yang panjangnya 10 cm, dan
tingginya 12 cm
Jawab :
Volume limas = ⅓ × L.alas × tinggi
= ⅓ × 10 × 10 × 12
= 4 × 100
= 400
Jadi, volume limas adalah 400 cm3
·
volume
limas segitiga
Soal :
Luas suatu alas limas segitiga
adalah 21 cm2 dan tingginya 8 cm.
Berapakah volume dan luas limas
segitiga tsb ?
Jawab:
Diketahui luas alas = 21 cm2
dan t = 8 cm
V = ⅓ × L.alas × tinggi
= ⅓ × 21 cm2 × 8 cm
= 56 cm3
24.menentukan aturan sines
1. bentuk jumlah atau selisih
Sin 40 ° cos 30 °
Jawab :
Sin 40 °
cos 30 ° = ½ [ sin ( 40 ° + 30 ° ) + sin
( 40 ° - 30 °) ]
= ½ ( sin 70 ° + sin 10 ° )
= ½ (cos 850
+ cos 150)
2. bentuk hasil kali
Sin 500 + sin 400
Jawab :
Sin 500 +
sin 400 = 2 sin ½ (500 + 400 ) cos ½ (500
– 400 )
= 2 sin 450
cos 50
25.menentukan kornet kutub kartesius
Soal :
- Koordinat titik E adalah (2,2)
- Koordinat titik F adalah (-2,1), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak dua satuan lalu tegak keatas sebanyak satu satuan.
- Koordinat titik G adalah (-3,-3), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak tiga satuan lalu tegak ke bawah sebanyak tiga satuan.
26.menentukan suku ke N atau UN dari barisan
aritmatika
·
soal:
Tentukan suku ke-25
dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?
·
jawab :
Dik
:
deret
: 1. 3, 5, 7, ...
a
= 1
b
= 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2
Un
= a + (n-1) b
=
1 + (25-1)2
=
1 + (24).2
=
1 + 48
=
49
Jadi
nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49
27.menentukan suku ke N barisan aritmatika dan
geometri
soal :
Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika
suku ke n dirumuskan sbagai :
a) Un = 3n + 1
b) Un = 2n² – 1
jawab :
Suku ke n, un = 3n + 1
a) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
Untuk n =2 diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Untuk n =3 diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10
Jadi , tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10
Suku ke n, un = 2n2 – 1
b) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 2(1)² – 1 = 1
Untuk n =3 diperoleh u3 = 2(1)² – 1 = 7
Untuk n =2 diperoleh u2 = 2(3)² – 1 = 17
Jadi tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 1, u2 = 7, u3 = 17
a) Un = 3n + 1
b) Un = 2n² – 1
jawab :
Suku ke n, un = 3n + 1
a) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
Untuk n =2 diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Untuk n =3 diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10
Jadi , tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10
Suku ke n, un = 2n2 – 1
b) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 2(1)² – 1 = 1
Untuk n =3 diperoleh u3 = 2(1)² – 1 = 7
Untuk n =2 diperoleh u2 = 2(3)² – 1 = 17
Jadi tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 1, u2 = 7, u3 = 17
28.menentukan Xn suku pertama barisan aritmatika
Soal :
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika berikut! 1,7,13,19,....
Jawab :
1,7,13,19,...
a = 1, b = 6, n = 10
Sn = 1/2 n (a + Un)
.....= 1/2 n (a + a + (n-1)b)
.....= 1/2 n (2a + (n-1)b)
S10 = 1/2. 10 (2.1 + 9.6)
a = 1, b = 6, n = 10
Sn = 1/2 n (a + Un)
.....= 1/2 n (a + a + (n-1)b)
.....= 1/2 n (2a + (n-1)b)
S10 = 1/2. 10 (2.1 + 9.6)
.......= 5 x (2 +
54)
.......= 5 x 56
.......= 5 x 56
S10 = 280
Jadi jumlah 10 suku pertama adalah 280
Jadi jumlah 10 suku pertama adalah 280
29.menentukan jumlah suku pertama barisan geometri
Soal :
Tentukan tiga
suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke n dirumuskan sbagai :
a) Un = 3n + 1
b) Un = 2n² – 1
a) Un = 3n + 1
b) Un = 2n² – 1
Jawab:
Suku ke n, un = 3n + 1
a) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
Untuk n =2 diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Untuk n =3 diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10
Jadi , tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10
Suku ke n, un = 2n2 – 1
a) Untuk n = 1 diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
Untuk n =2 diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Untuk n =3 diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10
Jadi , tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10
Suku ke n, un = 2n2 – 1
b) Untuk n = 1
diperoleh u1 = 2(1)² – 1 = 1
Untuk n =3 diperoleh u3 = 2(1)² – 1 = 7
Untuk n =2 diperoleh u2 = 2(3)² – 1 = 17
Jadi tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 1, u2 = 7, u3 = 17
Untuk n =3 diperoleh u3 = 2(1)² – 1 = 7
Untuk n =2 diperoleh u2 = 2(3)² – 1 = 17
Jadi tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 1, u2 = 7, u3 = 17
30.menentukan salah satu unsur dari barisan geometri
tak hingga
Soal :
Suatu deret
aritmatika diketahui 5 deret suku pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama =
24. Suku yang ke-15 sama dengan …
Jawab :
= 35 (2a + 4b) x
4 | 140 = 20a + 40b
= 24 2(2a + 3b)
4a + 6b | x
5 |120 = 20a + 30b
20 = 10 b
b = 2, a = 3
= a + 14b
= 3 + 28 = 31
31.menentukan permutasi dan dari tujuh akar
Soal :
Lima putra dan tiga
putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop
yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan
berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720
32.menentukan peluag
Soal :
Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah bukulaporan
semesteran dan 3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap
jenis buku laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut
menyusun buku ?
Jawab :
Diket : Menyusun
6 buah buku lap. semester dan 3 buah buku lap. tahunan dan
letaknya harus berjajar.
Ditanya : Banyak cara menyusun buku ?
Jawab :
2 ( 6! 3! )
= 2 ( 720 x 6 )
= 2 (4320)
= 8640 Cara
letaknya harus berjajar.
Ditanya : Banyak cara menyusun buku ?
Jawab :
2 ( 6! 3! )
= 2 ( 720 x 6 )
= 2 (4320)
= 8640 Cara
33.diagram lingkaran
Perhatikan diagram berikut!
Diagram
di atas menunjukkan hobi siswi MI Al Amin. Jumlah siswi yang
hobi berkebun dan memasak 78 anak. Banyak siswi yang hobi menyulam
adalah ....
Penyelesaian:
Persentase
Berkebun = 25% (ada tanda siku-siku yang berarti seperempat bagian)
Persentase
Memasak = 40%
Persentase
Menjahit = 20%
Persentase
Menyulam = 100% - (25% + 40% + 20%) = 15%
Diketahui jumlah siswa yang hobi berkebun dan memasak = 78 anak.
Jadi,
banyak siswi yang hobi menyulam ada 18 anak.
34.nilai rata-rata data kelompok
Soal :
Berat Badan
|
Frekuensi
|
15-24
25-34
35-44
45-54
55-64
65-74
|
8
14
24
32
16
6
|
Jawab:
Jika kita ambil nilai tengah kelas pertama sebagai rata-rata sementara.
Rata-rata =
= 19,5 + ((14(10) + 24(20) + 32(30) + 16(40) + 6(50))/(8+14+24+32+16+6)
= 19,5 + ((140+480+960+640+300)/(100)
= 19,5 + (2520/100)
= 19,5 + 25,2
= 44,7
Jika kita ambil rata-rata sementara adalah 49,5 maka cara kerjanya sebagai berikut.
Rata-rata =
= 49,5 + ((8(-30) + 14 (-20) + 24(-10) + 16(10) + 6(20))/100
= 49,5 + (-240 - 280 - 240 + 160 + 120)/100
= 49,5 + (-480/100)
= 49,5 + (-4,8)
= 44,7
35.modus data kelompok
Nilai
|
Frekuensi
|
41 – 50
|
8
|
51 – 60
|
5
|
61 – 70
|
14
|
71 – 80
|
8
|
81 – 90
|
3
|
91 – 100
|
2
|
Jumlah
|
40
|
Tentukan median dan modus
dari data di atas!
Jawab:
a. Median
Banyak data tersebut adalah
40, sehingga median terletak pada data ke -20 yang berada pada kelas interval
ke-3. Sehingga kita mengetahui:
sehingga median dari data di
atas adalah:
b. Modus
Modus pada data diatas
terletak pada kelas interval ke-3 karena mempunyai frekuensi paling besar yaitu
14. Sehingga kita mengetahui:
Sehingga modus dari data di
atas adalah:
36.simpangan baku
data tunggal
Soal :
Tentukan
simpangan baku
dari 4,5,6,3,2
Jawab
:
Dari
data di atas kita tahu bahwa 4,5,6,3,2 adalah data tunggal.
Simpangan baku untuk data tunggal seperti yang tampak diatas adalah:
Dik : n (jumlah data) = 5
Dit : Simpangan baku (S)?
Simpangan baku untuk data tunggal seperti yang tampak diatas adalah:
Dik : n (jumlah data) = 5
Dit : Simpangan baku (S)?
Jwb:
Pertama cari Xrata2 dulu ---> Xrata2 = 1/n (4 + 5 + 6 + 3 + 2) = 1/5 (20) = 4
Lalu, tinggal cari simpangan baku dengan rumus:
S" = 1/n Sigma (Xi - Xrata2)
S" = 1/5 [(4 - 4)" + (5 - 4)" + (6 - 4)" + (3 - 4)" + (2 - 4)"]
S" = 1/5 [(0)" + (1)" + (2)" + (-1)" + (-2)"]
S" = 1/5 (0 + 1 + 4 + 1 + 4)
S" = 1/5 (10)
S" = 2
S = akar 2 = 2^1/2
Catatan:
tanda " (kutip) = kuadrat
tanda ^ = Pangkat
Pertama cari Xrata2 dulu ---> Xrata2 = 1/n (4 + 5 + 6 + 3 + 2) = 1/5 (20) = 4
Lalu, tinggal cari simpangan baku dengan rumus:
S" = 1/n Sigma (Xi - Xrata2)
S" = 1/5 [(4 - 4)" + (5 - 4)" + (6 - 4)" + (3 - 4)" + (2 - 4)"]
S" = 1/5 [(0)" + (1)" + (2)" + (-1)" + (-2)"]
S" = 1/5 (0 + 1 + 4 + 1 + 4)
S" = 1/5 (10)
S" = 2
S = akar 2 = 2^1/2
Catatan:
tanda " (kutip) = kuadrat
tanda ^ = Pangkat
37.limit aljabar
Soal:
Jawab :
=1/4 . sin3x/x . 2. sinx/x . sinx/x
=1/4 . 3 . 2 . 1 . 1
=3/2
38. turunan fungsi
Soal :
Turunan pertama fungsi f(x) = (6x – 3)3
(2x – 1) adalah f‘(x).
Nilai dari f‘(1)
= …
Jawab :
misal : u(x) =
(6x – 3)3 u’(x) = 3(6x – 3)2(6)
v(x)
= (2x – 1) v’(x) = 2
f’(x) = u’v +
uv’
=
(3(6x – 3)2(6))(2x – 1) + (6x – 3)3(2)
=
18(6x – 3)2(2x – 1) + (6x – 3)3(2)
f’(1) = 18(6(1)
– 3)2(2(1) – 1) + (6(1) – 3)3(2)
=
18(3)2(1) + (3)3(2)
=
18(9) + (27)(2)
=
162 + 54
=
216
39.nilai optimum menggunakan konsep turunan fungsi
Soal :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari
y(x) = x2 + 6x + 5 pada interval
[ -4,0].
Jawab :
® Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x +
6
® Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari
persamaan :
y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½)
x + 3 = 0
x = -3
® sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) =
-4, -3, 0.
y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3
y(-3) = (-3)2 + 6 (-3) + 5 = -4
y(0) = 02 + 6 (0) + 5 = 5
Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan
nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].
40.integral tak tentu
Soal :
Jawab :
misalkan
sedemikian sehingga,
jika
disubtitusi ke bentuk integral yang diketahui,
maka menjadi
supaya mudah diintegralkan ubah bentuknya menjadi dan hasilnya adalah
jadi jika disubstitusikan ke hasil, maka :
supaya mudah diintegralkan ubah bentuknya menjadi dan hasilnya adalah
jadi jika disubstitusikan ke hasil, maka :
41.luas daerah
Soal :
Luas daaerah yang dibatasi
kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas
Jawab :
Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x
sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah
terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x.
Kemudian
persamaan kurva (y1) = persamaan garis (y2)
x2 = 6 – x
x2 + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x = -3 atau x = 2
Luas = (y1 – y2)
dx
= x2 + x – 6 dx
= x3 + x2 – 6x
= ((2)3 + (2)2 – 6(2)) – ((-3)3 + (-3)2 – 6(-3))
= ( + 2 – 12) – (-9 + + 18)
= -19 –
=
Luas suatu kurva tidak mungkin
bernilai negatif, jadi hasil akhirnya
= satuan luas
42.volume benda putar
Soal :
Volume benda putar
jika daerah yang dibatasi kurva y = − x2 + 4 dan y = − 2x + 4
diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah.....
Jawab
:
Langkah pertama yang biasa
ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar nampak
batas-batas yang akan diambil,
Kurva pertama bentuknya
persamaan kuadrat,
y = −x2 + 4
Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x2 + 4
0 = −x2 + 4
0 = 4 −x2
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2
Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)
Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x2 + 4
y = −02 + 4
y = 4
Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)
Kurva Kedua berbentuk persamaan linier
y = − 2x + 4
Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)
Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)
Grafik selengkapnya sebagai berikut
y = −x2 + 4
Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x2 + 4
0 = −x2 + 4
0 = 4 −x2
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2
Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)
Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x2 + 4
y = −02 + 4
y = 4
Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)
Kurva Kedua berbentuk persamaan linier
y = − 2x + 4
Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)
Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)
Grafik selengkapnya sebagai berikut
43.persamaan lingkaran
Soal :
Tulislah persamaan
lingkaran dalam bentuk x² + y² + 2Ax + 2 By + C = 0
Jika diketahui p = ( 2,2 ) dan r = 3
jawab :
P ( 2,2 ) r = 3
( x – 2 )² + ( y – 2 )² = 3²
x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 – 9 = 0
x² + y² - 4x – 4y – 1= 0
Jika diketahui p = ( 2,2 ) dan r = 3
jawab :
P ( 2,2 ) r = 3
( x – 2 )² + ( y – 2 )² = 3²
x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 – 9 = 0
x² + y² - 4x – 4y – 1= 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar